\subsection{面积概念和公理}\label{subsec:czjh1-5-1}

在小学里我们学习过一些面积的计算。在日常生活和生产中，会经常遇到面积的问题。
例如，计算土地的面积、住房的面积、各种物体的表面积等。
这些问题都与各种多边形的面积有关，因此．我们需要进一步研究多边形的面积。

\begin{wrapfigure}[8]{r}{8.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch5-01}
    \caption{}\label{fig:czjh1-5-1}
\end{wrapfigure}

多边形的\zhongdian{面积}， 就是它所围的平面部分的大小。
大小是用数来表示的，要表示一个多边形的面积，和度量线段时一样，必须取一个单位，
然后看这个多边形所围平面部分是单位的多少倍，这个倍数就是面积的数值。
面积的单位，通常是取边长为单位长度的正方形。
例如，边长为 1 cm、1 m 的正方形，图 \ref{fig:czjh1-5-1} 表示一个直角梯形所围平面部分是单位的 24 倍，
因而这个梯形的面积就是 24 个面积单位。

很明显，图形的面积有下面的性质：

(1) 两个图形全等，它们的面积相等；

(2) 一个图形的面积，等于它的各部分面积的和。

我们必须注意，两个面积相等的图形，它们不一定全等。
例如图 \ref{fig:czjh1-5-2} 中的矩形和平行四边形都是由两个全等的直角三角形组成的，
显然它们的面积相等，但它们并不全等。

图形的面积用 $S$ 表示，例如图形 $F$ 的面积，记作 $S_{\text{图形}F}$。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-02}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-2}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-03}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-3}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti[0] 已知：如图 \ref{fig:czjh1-5-3}， 在 $\pxsbx ABCD$ 中， $EF \pingxing AD$，$GH \pingxing AB$， $EF$ 和 $GH$ 交于 $BD$ 上的点 $P$。

求证： $S_{\pxsbx AEPG} = S_{\pxsbx PHCF}$。

\zhengming $\because$ \quad $BD$ 是 $\pxsbx ABCD$ 的对角线，

$\therefore$ \quad $\triangle ABD \quandeng \triangle CBD$。

同理 \quad $\triangle EBP \quandeng \triangle HPB$， $\triangle GPD \quandeng \triangle FDP$。

$\therefore$ \quad $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CDB}$，
                   $S_{\triangle EBP} = S_{\triangle HPB}$，
                   $S_{\triangle GPD} = S_{\triangle FDP}$。

又 $\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $S_{\pxsbx AEPG} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle EBP} - S_{\triangle GPD}$， \\
    $S_{\pxsbx PHCF} = S_{\triangle CDB} - S_{\triangle HPB} - S_{\triangle FDP}$， \\
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad $S_{\pxsbx AEPG} = S_{\pxsbx PHCF}$。

多边形面积的计算，都是以矩形的面积为基础的。
为了计算各种多边形的面积，我们先观察矩形的面积。

当矩形的长和宽都是整数时，容易看出，它的面积等于长和宽的积。
例如图 \ref{fig:czjh1-5-4} 中的矩，它的长、宽分别是 5、3， 面积等于 $5 \times 3 = 15$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-04}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-4}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-05}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-5}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{enhancedline}
当矩形的长和宽是分数时，它的面积也等于长和宽的积。
例如，图 \ref{fig:czjh1-5-5} 中的矩形（阴影部分），它的长、宽分别是 $\exdfrac{2}{3}$、$\exdfrac{3}{4}$，
面积等于 $\exdfrac{2}{3} \times \exdfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12}$，
即单位面积的 $\exdfrac{1}{2}$。

对于长和宽为任何实数的矩形，也有长、宽相乘等于面积这样的事实，我们把这个事实当作公理。
\end{enhancedline}

\begin{gongli}[公理]
    矩形的面积等于它的长 $a$ 和宽 $b$ 的积。
\end{gongli}
\begin{center}
    \framebox[10em]{\zhongdian{$\bm{
        S_{\text{矩形}} = a \cdot b
    }$}。}
\end{center}


从这个公理可以直接得出下面的推论：

\begin{tuilun}[推论]
    正方形的面积，等于它的边长 $a$ 的平方。
\end{tuilun}
\begin{center}
    \zhongdian{$\bm{
        S_{\text{正方形}} = a^2
    }$。}
\end{center}


\begin{lianxi}

\xiaoti{正方形的对角线长是 10 cm， 求连结这个正方形各边中点所成正方形的面积。}

\xiaoti{如图，用边长为 20 cm、10 cm 的两种正方形瓷砖和长宽分别为 20 cm、10 cm 的矩形瓷砖镶嵌地板，
    镶嵌 $1 \pfm$ 各需多少块？
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch5-subsec01-lx-02}
    \caption*{（第 2 题）}
\end{figure}

\xiaoti{矩形的长和宽分别是 10 cm 和 6 cm，求连结这个矩形各边中点所成菱形的面积。}

\end{lianxi}

